test
📄 ČÁST 1: Sbírka úloh z LAA (Zadání)
Tento dokument obsahuje unikátní příklady z písemek.
A. Soustavy lineárních rovnic
Úkol: Najděte všechna řešení následujících soustav rovnic.
A.1
$$
\begin{aligned}
3x_1 - 6x_2 + 2x_3 + 5x_4 - 10x_5 &= -3 \\
x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 3x_4 - x_5 &= -8 \\
-2x_1 + 4x_2 + x_3 - 8x_4 + 9x_5 &= -5 \\
-3x_1 + 6x_2 - 4x_3 - x_4 + 8x_5 &= 9
\end{aligned}
$$
A.2
$$
\begin{aligned}
2x_1 - x_2 + 7x_3 + x_4 - 4x_5 &= -2 \\
3x_1 + 2x_2 + 7x_3 + 7x_5 &= -4 \\
x_1 + 3x_3 - x_4 + 5x_5 &= -5 \\
-2x_1 + 3x_2 - 9x_3 - 2x_4 + 12x_5 &= 1
\end{aligned}
$$
A.3
$$
\begin{aligned}
3x_1 + 2x_2 - 6x_3 + 6x_4 - 4x_5 &= -2 \\
-3x_1 + x_2 + 15x_3 - 3x_4 - 5x_5 &= -2 \\
2x_1 - 3x_2 - 17x_3 + x_4 + 9x_5 &= 4 \\
x_1 - 2x_2 - 10x_3 - 4x_4 + 10x_5 &= 4
\end{aligned}
$$
A.4
$$
\begin{aligned}
x_1 - 4x_2 + 5x_3 - x_4 + 2x_5 &= 4 \\
-2x_1 + 10x_2 - 11x_3 + x_4 - 13x_5 &= 8 \\
3x_1 - 16x_2 + 17x_3 - 6x_4 + 14x_5 &= 5 \\
x_1 - 2x_2 + 4x_3 + 2x_4 + x_5 &= 0
\end{aligned}
$$
A.5
$$
\begin{aligned}
3x_1 - 3x_2 - 6x_4 + 4x_5 &= 11 \\
-2x_1 + 2x_2 + x_3 + 6x_4 + 2x_5 &= 1 \\
x_1 - x_2 - x_3 - 4x_4 + 2x_5 &= 6 \\
2x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 4x_5 &= 8
\end{aligned}
$$
B. Lineární zobrazení
Úkol: Určete dimenzi a bázi jádra (Ker L), dimenzi a bázi obrazu (Im L) a matici zobrazení.
B.1 \( L: P_2 \to \mathbb{R}^3 \)
$$ L(ax^2 + bx + c) = [a+b-c, \quad a+2b+3c, \quad b+4c]^T $$
B.2 \( L: \mathbb{R}^4 \to P_2 \)
$$ L([a,b,c,d]^T) = (a+c+d)x^2 + (a+b-c)x + (b-2c-d) $$
B.3 \( L: P_3 \to \mathbb{R}^3 \)
$$ L(ax^3 + bx^2 + cx + d) = [a+c, \quad a+b+d, \quad b-c+d]^T $$
B.4 \( L: \mathbb{R}^4 \to P_2 \)
$$ L([a,b,c,d]^T) = (a+2b+c-d)x^2 + (b+d)x + (a+b-c) $$
B.5 \( L: P_3 \to \mathbb{R}^2 \)
$$ L(ax^3 + bx^2 + cx + d) = [a+b+d, \quad 2a-c+d]^T $$
B.6 \( L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^5 \)
$$ L([a,b,c]^T) = [2a-b+c, \quad 0, \quad a+3b-c, \quad 0, \quad 3a+2b]^T $$
C. Vlastní čísla a vektory
Úkol: Určete vlastní čísla, vlastní vektory a Jordanův tvar.
C.1
$$ A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -2 & -7 \end{bmatrix} $$
C.2
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$
C.3
$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$
C.4
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} $$
C.5
$$ A = \begin{bmatrix} 7 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -2 \\ 8 & -3 & -1 \end{bmatrix} $$
C.6
Určete, k jakému vlastnímu číslu \( \lambda \) matice \( A \) přísluší vlastní vektor \( \vec{h} = [1, -1, 1]^T
\).
$$ A = \begin{bmatrix} -3 & -7 & -6 \\ 1 & 5 & 6 \\ -1 & -1 & -2 \end{bmatrix} $$
📝 ČÁST 2: Klíč k řešení (Výsledky)
A. Soustavy rovnic
- A.1: Řešení závisí na 3 parametrech.
- A.2: Řešení závisí na 1 parametru.
- A.3: Řešení závisí na 2 parametrech.
- A.4: Řešení závisí na 1 parametru.
- A.5: Řešení závisí na 2 parametrech.
B. Lineární zobrazení
B.1 (\( P_2 \to \mathbb{R}^3 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 1. Báze např. \( \{5x^2 - 4x + 1\} \).
Obraz: Dimenze 2.
B.2 (\( \mathbb{R}^4 \to P_2 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 1.
Obraz: Dimenze 3 (celý prostor \( P_2 \)).
B.3 (\( P_3 \to \mathbb{R}^3 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 1. Báze např. \( \{-x^3 - x^2 + x + 1\} \).
Obraz: Dimenze 3.
B.4 (\( \mathbb{R}^4 \to P_2 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 1.
Obraz: Dimenze 3.
B.5 (\( P_3 \to \mathbb{R}^2 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 2.
Obraz: Dimenze 2.
B.6 (\( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^5 \))
Matice: \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \)
Jádro: Dimenze 0.
Obraz: Dimenze 3.
C. Vlastní čísla a vektory
C.1
Vlastní čísla: \( 1, -4, -6 \).
Vektory: \( (10, -13, 2), (3, 3, 1), (1, 1, 1) \).
C.2
Vlastní čísla: \( 3 \) (násobnost 1), \( 0 \) (násobnost 2).
Vektory pro 0: báze např. \( \{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\} \).
Diagonalizovatelná.
C.3
Vlastní čísla: \( 2, -1 \) (násobnost 2).
Vektory pro -1: báze např. \( \{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\} \).
C.4
Vlastní čísla: \( 0, 1 \) (násobnost 2).
Vektory pro 1: báze např. \( \{(3, 1, 0), (-1, 0, 1)\} \).
Diagonalizovatelná.
C.5
Vlastní čísla: \( 2 \) (trojnásobné).
Dimenze vlastního prostoru je 2 \( \Rightarrow \) Není diagonalizovatelná.
C.6
Vlastní číslo \( \lambda = -2 \).