Rozklad kvadratického trojčlenu

Krátké shrnutí: Rozklad kvadratického trojčlenu znamená přepsat výraz $ax^2+bx+c$ jako součin dvou lineárních členů.

Definice

Máme výraz $ax^2+bx+c$ s $a\neq0$. Pokud jsou kořeny kvadratické rovnice $x_1$ a $x_2$, pak platí $$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2).$$ Pokud má rovnice dvojitý kořen $x_0$, pak se zápis zjednoduší na $a(x-x_0)^2$.

Postup krok za krokem

Vypočítejte diskriminant $D=b^2-4ac$.
Pokud $D<0$, rozklad na reálné lineární činitele není možný.
Vypočítejte kořeny: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
Napište rozklad: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Příklad (pro $a=1$)

Rozložte $x^2+5x+6$.

Hledáme dvě čísla se součtem $5$ a součinem $6$: to jsou $2$ a $3$. Tedy $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Příklad (obecný $a\neq1$)

Rozložme $2x^2-3x-5$.

1) $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49.$
2) $x_{1,2}=\dfrac{3\pm7}{4}$. Tedy $x_1=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ a $x_2=\dfrac{-4}{4}=-1$.
3) Rozklad: $2x^2-3x-5=2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)(x+1)= (2x-5)(x+1).$

Užitečné metody a tipy

Pro $a=1$ funguje rychlé hledání dvou čísel (součet = $b$, součin = $c$).
Pro $a\neq1$ můžete použít tzv. "smluvené" rozšíření: najít dvojici čísel, která vynásobená dají $a\cdot c$ a jejich součet je $b$, pak rozdělit člen $bx$.

Cvičení pro návštěvníky

1) $x^2+7x+12$

2) $x^2-x-6$

3) $3x^2+11x+10$

4) $4x^2-4x+1$ (pozor: dvojitý kořen)